Question

15．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=16，AA₁=8，BC=10，點(diǎn)E，F(xiàn) 分別在A₁B₁C₁D₁上，A₁E=D₁F=4，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形EFGH．
（I）在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形EFGH（不必說(shuō)明畫(huà)法和理由），并說(shuō)明G，H在棱上的具體
位置；
（II）求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值．

Answer 1

分析 （I）過(guò)E作EM⊥AB于M，由勾股定理可得MH=6，從而確定出G，H的位置；
（II）兩部分均為底面為梯形的直棱柱，代入棱柱的體積公式求出兩部分的體積即可得出體積比．

解答 解：（I）作出圖形如圖所示：
過(guò)E作EM⊥AB于M，
∵四邊形EFGH為正方形，∴EH=EF=BC=10，
∵EM=AA₁=8，
∴MH=$\sqrt{E{H}^{2}-E{M}^{2}}$=6，
∴AH=AM+MH=10，∴DG=10，
即H在棱AB上，G在棱CD上，且AH=DG=10．
（II）設(shè)平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積分別為V₁，V₂，
則V₁=S${\;}_{梯形A{A}_{1}EH}$•AD=$\frac{1}{2}$×（4+10）×8×10=560，
V₂=V_{長(zhǎng)方體}-V₁=16×8×10-560=720．
∴$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{560}{720}$=$\frac{7}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱柱的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．