Question

5．已知a＞0，函數(shù)f（x）=-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+2a+b，當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，-5≤f（x）≤1．
（1）求常數(shù)a，b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）指出所求函數(shù)圖象是由f（x）=sinx的圖象如何變換得到的．

Answer 1

分析 （1）由x的范圍可得2x+$\frac{π}{6}$的范圍，由最值可得可得ab的方程組，解方程組可得a，b的值；
（2）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，即可解得單調(diào)遞減區(qū)間．
（3）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律即可得解．

解答 （本小題14分）
解：（1）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7}{6}$π，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
又∵a＞0，-5≤f（x）≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2a+2a+b=-5}\\{a+2a+b=1}\end{array}\right.$，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
（2）f（x）=-4sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，得：-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，得：$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2}{3}$π+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2}{3}$π+kπ]（k∈Z），單調(diào)遞減區(qū)間為：[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]（k∈Z）．
（3）將函數(shù)f（x）=sinx的圖象向右移動$\frac{π}{6}$個單位，
再縱坐標不變橫坐標縮短為原來的一半，
再橫坐標不變縱坐標擴大為原來的4倍，
而后將圖象關于x軸對稱，然后將其再向下移動一個單位即可得到所求函數(shù)圖象．

點評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數(shù)的最值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎題．