Question

x的二次方程x²+z₁x+z₂+m=0中，z₁，z₂，m均是復(fù)數(shù)，且-4z₂=16+20i，設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)根α、β，滿(mǎn)足|α-β|=2，求|m|的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：題目給出的是復(fù)系數(shù)一元二次方程，并且給出了，首先設(shè)出復(fù)數(shù)m，運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系求出α+β及αβ，再借助|α-β|=2找出復(fù)數(shù)m所滿(mǎn)足的關(guān)系，根據(jù)幾何意義求|m|的最大值和最小值．
解答：解：設(shè)m=a+bi（a，b∈R）．則z₁²-4z₂-4m=16+20i-4a-4bi=4[（4-a）+（5-b）i]．
而|α-β|=2?|α-β|²=28?|（α-β）²|=28?|（α+β）²-4αβ|=28
??|（4-a）+（5-b）i|=7?（a-4）²+（b-5）²=7²，
即表示復(fù)數(shù)m的點(diǎn)在圓（a-4）²+（b-5）²=7²上，
該點(diǎn)與原點(diǎn)距離的最大值為7+，最小值為7-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)相等的充要條件問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想及數(shù)與形的結(jié)合，解答此題的關(guān)鍵是設(shè)出復(fù)數(shù)m，根據(jù)方程兩根差的絕對(duì)值為列式，轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)m的實(shí)部和虛部所滿(mǎn)足的關(guān)系．