Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx在區(qū)間[0，1]上是增函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0），（1，+∞）上是減函數(shù)，又
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若在區(qū)間[0，m]（m＞0）上恒有f（x）≤x成立，求m的取值范圍、

Answer 1

解：（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2bx+c，由已知f'（0）=f'（1）=0，
即
解得
∴f'（x）=3ax²-3ax，
∴，
∴a=-2，
∴f（x）=-2x³+3x²．
（Ⅱ）令f（x）≤x，即-2x³+3x²-x≤0，
∴x（2x-1）（x-1）≥0，
∴或x≥1．
又f（x）≤x在區(qū)間[0，m]上恒成立，
∴．
分析：（Ⅰ）由“f（x）在區(qū)間[0，1]上是增函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0），（1，+∞）上是減函數(shù)”，則有f'（0）=f'（1）=0，再由
求解．
（Ⅱ）首先將“f（x）≤x，x∈[0，m]成立”轉(zhuǎn)化為“x（2x-1）（x-1）≥0，x∈[0，m]成立”求解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用函數(shù)的極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)值來求函數(shù)解析式及不等式恒成立問題．