Question

設(shè)AB為過拋物線y²=8x的焦點的弦，則弦AB的長的最小值為（　�。�

• A、2
• B、4
• C、8
• D、16

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線方程可得焦點坐標(biāo)，進(jìn)而可設(shè)直線L的方程與拋物線聯(lián)立根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂，進(jìn)而根據(jù)拋物線定義可求得|AB|的表達(dá)式，整理可得|AB|=8（1+

1

k2

），由于k=tana，進(jìn)而可知當(dāng)a=90°時AB|有最小值．

解答：解：焦點F坐標(biāo)（ 2，0），設(shè)直線L過F，則直線L方程為y=k（x-2）
聯(lián)立y²=8x得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=4+

8

k2

|AB|=x₁+x₂+2=8（1+

1

k2

）
因為k=tana，所以1+

1

k2

=1+

1

tan2α

=

1

sin2α

∴|AB|=

2p

sin2α

當(dāng)a=90°時，即AB垂直于X軸時，AB取得最小值，最小值是|AB|=2p
故選C

點評：本題主要考查拋物線的應(yīng)用．這道題綜合了拋物線的性質(zhì)、拋物線的焦點弦、直線與拋物線的關(guān)系等問題，解題的關(guān)鍵是正確聯(lián)立方程，寫出根和系數(shù)的關(guān)系．