Question

一條直線l被兩條直線：4x＋3y＋6=0或3x－5y－6=0截得的線段中心恰好是坐標(biāo)原點，求直線l的方程．

Answer 1

答案：x＋6y=0
解析：

解法1：當(dāng)直線的斜率存在時由題意知，直線l過原點，則設(shè)直線l的方程為y=kx． 由由 ∵點(0，0)是上述兩個點的中點， ∴ 解可得． ∴所求直線的方程為，即為x＋6y=0． 當(dāng)直線的斜率不存在時，直線即為y軸，而y軸和兩條已知直線的交點分別為(0，－6)和，顯然不滿足中點為原點的要求． 綜上可知所求直線的方程為x＋6y=0． 由于所求直線被兩條已知直線截得線段的中點為坐標(biāo)原點，即所求的直線經(jīng)過坐標(biāo)原點，因此所求的直線方程可以設(shè)為． 解法2：依題意知l過原點，當(dāng)直線的傾斜率存在時可設(shè)l的方程為y=kx． 設(shè)l與兩已知直線的交點分別為，， 則解得 又根據(jù)中點坐標(biāo)公式有解得． 因為當(dāng)k不存在時，l即為軸，而y軸和和兩已知直線的交點分別為(0，6)和，顯然不滿足中點是原點的要求．因此所求直線方程為，即x＋6y=0． 解法3：設(shè)所求直線l與直線4x＋y＋6=0，以及3x－5y－6=0的交點分別為A、B，且A()， ∵線段AB中點為坐標(biāo)原點(0，0)，則點B坐標(biāo)為B． 又由點A、B分別在已知直線上， ∴∴ 又∵直線l過原點， ∴直線l斜率， 直線l方程為． 由于直線l與兩已知直線交點所得線段中點恰為坐標(biāo)原點，因此，可設(shè)一個交點坐標(biāo)為，根據(jù)中點坐標(biāo)公式，表示出一個定點坐標(biāo)，再由兩交點分別在兩已知直線上，可列出關(guān)于的方程組，求出即可．再根據(jù)所求直線過原點，可得直線l的方程．