【題目】已知點是橢圓: 上的一點,橢圓的右焦點為,斜率為的直線交橢圓于、兩點,且、、三點互不重合.
(1)求橢圓的方程;
(2)求證:直線, 的斜率之和為定值.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)由橢圓的定義可求得,然后可得,可得橢圓的方程;(2)設(shè)直線的方程為,將此方程代入橢圓方程可得整理得,設(shè), ,由根與系數(shù)的關(guān)系可得, ,然后由斜率公式可得,即可得到結(jié)論。
試題解析:
(1)由題意得橢圓的左焦點為。
由橢圓定義可得
,
解得,
∴,
所以橢圓的方程為.
(2)證明:設(shè)直線的方程為,
又, , 三點不重合,故。
由消去y整理得,
∵直線與橢圓交于、兩點,
∴,
解得
設(shè), ,
則,① ,②
設(shè)直線, 的斜率分別為, ,
則 (),
分別將①②式代入(),得
,
所以,
即直線, 的斜率之和為定值.
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【題目】設(shè)f(x)= , g(x)是二次函數(shù),若f(g(x))的值域是[0,+∞),則函數(shù)g(x)的值域是( )
A.(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)
B.(﹣∞,﹣1]∪[0,+∞)
C.[0,+∞)
D.[1,+∞)
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【題目】已知正△ABC三個頂點都在半徑為2的球面上,球心O到平面ABC的距離為1,點E是線段AB的中點,過點E作球O的截面,則截面面積的最小值是
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【題目】設(shè)為實數(shù),函數(shù), .
(1)求的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)求證:當(dāng)且時, .
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【題目】已知, 分別為橢圓: 的左、右焦點,點在橢圓上.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)設(shè)直線的斜率為,直線與橢圓交于, 兩點,若點在第一象限,且,求面積的最大值.
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【題目】為迎接2017年“雙”,“雙”購物狂歡節(jié)的來臨,某青花瓷生產(chǎn)廠家計劃每天生產(chǎn)湯碗、花瓶、茶杯這三種瓷器共個,生產(chǎn)一個湯碗需分鐘,生產(chǎn)一個花瓶需分鐘,生產(chǎn)一個茶杯需分鐘,已知總生產(chǎn)時間不超過小時.若生產(chǎn)一個湯碗可獲利潤元,生產(chǎn)一個花瓶可獲利潤元,生產(chǎn)一個茶杯可獲利潤元.
(1)使用每天生產(chǎn)的湯碗個數(shù)與花瓶個數(shù)表示每天的利潤(元);
(2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大,最大利潤是多少?
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【題目】下列五個命題中:
①函數(shù)y=loga(2x﹣1)+2015(a>0且a≠1)的圖象過定點(1,2015);
②若定義域為R函數(shù)f(x)滿足:對任意互不相等的x1、x2都有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0,則f(x)是減函數(shù);
③f(x+1)=x2﹣1,則f(x)=x2﹣2x;
④若函數(shù)f(x)=是奇函數(shù),則實數(shù)a=﹣1;
⑤若a=(c>0,c≠1),則實數(shù)a=3.
其中正確的命題是 .(填上相應(yīng)的序號).
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【題目】如圖:在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E為棱DD1的中點
(1)求證:BD1∥平面AEC
(2)求證:AC⊥BD1 .
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