【題目】設(shè)為實數(shù),函數(shù), .
(1)求的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)求證:當(dāng)且時, .
【答案】(1)在上減,在上增;當(dāng)時,取極小值(2)見解析
【解析】試題分析:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值的求法和不等式的證明,具體涉及到導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)增減區(qū)間的判斷、極值的計算和不等式性質(zhì)的應(yīng)用,解題時要認真審題,仔細解答.第一問,由, ,知, .令,得.列表討論能求出的單調(diào)區(qū)間區(qū)間及極值;第二問,設(shè), ,于是, .由第一問知當(dāng)時, 最小值為,于是對任意,都有,所以在R內(nèi)單調(diào)遞增.由此能夠證明.
試題解析:∵, ,
∴, .
令,得.
于是當(dāng)x變化時, , 的變化情況如下表:
故的單調(diào)遞減區(qū)間是,
單調(diào)遞增區(qū)間是,
在處取得極小值,
極小值為,無極大值.
(2)證明:設(shè), ,
于是, .
由(1)知當(dāng)時,
最小值為.
于是對任意,都有,所以在R內(nèi)單調(diào)遞增.
于是當(dāng)時,對任意,都有.
而,從而對任意, .
即,
故.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)表如下:
第一行:1
第二行:1 2
第三行:1 1 2 3
第四行:1 1 2 1 1 2 3 4
第五行:1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5
…… …… ……
第行:先抄寫第1行,接著按原序抄寫第2行,然后按原序抄寫第3行,...,直至按原序抄寫第行,最后添上數(shù).(如第四行,先抄寫第一行的數(shù)1,接著按原序抄寫第二行的數(shù)1,2,接著按原序抄寫第三行的數(shù)1,1,2,3,最后添上數(shù)4).
將按照上述方式寫下的第個數(shù)記作(如)
(1)用表示數(shù)表第行的數(shù)的個數(shù),求數(shù)列的前項和;
(2)第8行中的數(shù)是否超過73個?若是,用表示第8行中的第73個數(shù),試求和的值;若不是,請說明理由;
(3)令,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在處的切線方程為
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若為整數(shù),當(dāng)時, 恒成立,求的最大值(其中為的導(dǎo)函數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(Ⅰ)若函數(shù)在處的切線平行于直線,求實數(shù)的值;
(Ⅱ)討論在上的單調(diào)性;
(Ⅲ)若存在,使得成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點是橢圓: 上的一點,橢圓的右焦點為,斜率為的直線交橢圓于、兩點,且、、三點互不重合.
(1)求橢圓的方程;
(2)求證:直線, 的斜率之和為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=a|x+b|(a>0,a≠1,b∈R).
(1)若f(x)為偶函數(shù),求b的值;
(2)若f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù),試求a、b應(yīng)滿足的條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓的圓心在直線上,且與直線相切于點,
(1)求圓方程;
(2)是否存在過點的直線與圓交于兩點,且的面積是(為坐標(biāo)原點),若存在,求出直線的方程,若不存在,請說明理由.
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