Question

已知△ABC的周長(zhǎng)為9，AC=3，4cos2A-cos2C=3．
（1）求AB的值；
（2）求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，利用二倍角的余弦公式 化簡(jiǎn)等式可得2sinA=sinC，應(yīng)用正弦定理并結(jié)合三角形的周長(zhǎng)可求得BC和AB的值．
（2）△ABC中，由余弦定理得 cosA 的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinA的值．

解答：解：（1）△ABC中，4cos2A-cos2C=3，∴4（1-2sin²A ）-（1-2sin²C）=3，
∴4sin²A=sin²C，2sinA=sinC．根據(jù)正弦定理得 

AB

sinC

=

BC

sinA

，
∴AB=2BC，再由△ABC的周長(zhǎng)為9，AC=3，可得AB=4，BC=2．
（2）△ABC中，由余弦定理得 cosA=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

7

8

，
∴sinA=

1-cos2A

=

15

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，二倍角的余弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求出AB的值，是解題的關(guān)鍵．