Question

6．給一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使得同一條棱的兩端異色如果有4種顏色可供使用，則共有x種不同的染色方法；如果有5種顏色可供使用，則共有y種不同的染色方法，那么y-x的值為348．

Answer 1

分析 如果有5種顏色可供使用，首先給頂點(diǎn)P選色，有5種結(jié)果，再給A選色有4種結(jié)果，再給B選色有3種結(jié)果，最后分兩種情況即B與D同色、B與D不同色來(lái)討論，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理和分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．同理可求如果有4種顏色可供使用，即可求出y-x種．

解答 解：設(shè)四棱錐為P-ABCD．如果有5種顏色可供使用，
下面分兩種情況即B與D同色與B與D不同色來(lái)討論，
（1）P：C₅¹，A：C₄¹，B：C₃¹，
B與D同色：D：1，C：C₃¹．
（2）P：C₅¹，A：C₄¹，B：C₃¹，
B與D不同色：D：C₂¹，C：C₂¹．
共有C₅¹•C₄¹•C₃¹•1•C₃¹+C₅¹•C₄¹•C₃¹•C₂¹•C₂¹=420．
則y=420種，
如果有4種顏色可供使用，
下面分兩種情況即C與A同色與C與A不同色來(lái)討論，
（1）P的著色方法種數(shù)為C₄¹，A的著色方法種數(shù)為C₃¹，B的著色方法種數(shù)為C₂¹，
C與A同色時(shí)C的著色方法種數(shù)為1，D的著色方法種數(shù)為C₂¹．
（2）P的著色方法種數(shù)為C₄¹，A的著色方法種數(shù)為C₃¹，B的著色方法種數(shù)為C₂¹，
C與A不同色時(shí)C的著色方法種數(shù)為C₁¹，D的著色方法種數(shù)為C₁¹．
共有C₄¹•C₃¹．2•C₂¹+C₄¹•C₃¹•2=48+24=72種結(jié)果．
則x=72種，
故y-x=420-72=348，
故答案為：348

點(diǎn)評(píng) 本題同一道理科高考題目類似，那是一道給花園土地選不同的花色的題目，同學(xué)們可以比較，總結(jié)此類問題的做法，對(duì)于復(fù)雜一點(diǎn)的計(jì)數(shù)問題，有時(shí)分類以后，每類方法并不都是一步完成的，必須在分類后又分步，綜合利用兩個(gè)原理解決．