Question

15．在某次問卷調(diào)查中，有a，b兩題為選做題，規(guī)定每位被調(diào)查者必須且只需在其中選做一題，其中包括甲乙在內(nèi)的4名調(diào)查者選做a題的概率均為$\frac{2}{3}$，選做b題的概率均為$\frac{1}{3}$．
（1）求甲、乙兩位被調(diào)查者選做同一道題的概率；
（2）設(shè)這4名受訪者中選做b題的人數(shù)為ξ，求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)事件A表示“甲選做第a題”，事件B表示“乙選做第a題”，則甲、乙2名受訪者選做同一道題的事件為“$AB+\overline A\overline B$”，且事件A、B相互獨(dú)立．然后求解概率即可．
（2）隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4，且ξ～$B（4，\frac{1}{3}）$，求出概率，得到變量ξ的分布，然后求解期望即可．

解答 解：（1）設(shè)事件A表示“甲選做第a題”，事件B表示“乙選做第a題”，
則甲、乙2名受訪者選做同一道題的事件為“$AB+\overline A\overline B$”，且事件A、B相互獨(dú)立．
所以$P（AB+\overline A\overline B）=P（A）P（B）+P（\overline A）P（\overline B）$=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{5}{9}$…（5分）
答：甲、乙兩位被調(diào)查者選做同一道題的概率$\frac{5}{9}$…（6分）
（2）隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4，且ξ～$B（4，\frac{1}{3}）$．…（8分）
所以$P（ξ=k）=C_4^k{（\frac{1}{3}）^k}{（1-\frac{1}{3}）^{4-k}}=C_4^k{（\frac{1}{3}）^k}{（\frac{2}{3}）^{4-k}}_{\;}^{\;}（k=0，1，2，3，4）$，…（10分）
所以變量ξ的分布表為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

…（12分）
所以$Eξ=0×\frac{16}{81}+1×\frac{32}{81}+2×\frac{24}{81}+3×\frac{8}{81}+4×\frac{1}{81}=\frac{4}{3}$（或$Eξ=np=4×\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$）…（14分）

點(diǎn)評 本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的求法，分布列以及期望的求法，考查計(jì)算能力．