Question

已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點F重合，且橢圓短軸的兩個端點與F構(gòu)成正三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點（1，0）的直線l與橢圓交于不同兩點P、Q，試問在x軸上是否存在定點E（m，0），使恒為定值？若存在，求出E的坐標及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出拋物線的焦點坐標，可得c，再求出b的值，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）分類討論，設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由題意知拋物線的焦點，∴…（1分）
又∵橢圓的短軸的兩個端點與F構(gòu)成正三角形，∴b=1，
∴橢圓的方程為…（3分）
（Ⅱ）當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，則l的方程為：y=k（x-1）
代入橢圓方程，消去y，可得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則…（5分）
∵
∴=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂===…（7分）
==…（9分）
當，即時，為定值…（10分）
當直線l的斜率不存在時，
由可得，∴
綜上所述，當時，為定值…（12分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．