Question

19．空氣污染，又稱為大氣污染，當空氣污染指數(shù)（單位：μg/m³）為0～50時，空氣質量級別為一級，空氣質量
狀況屬于優(yōu)；當空氣污染指數(shù)為50～100時，空氣質量級別為二級，空氣質量狀況屬于良；當空氣污染指數(shù)為
100～150時，空氣質量級別為三級，空氣質量狀況屬于輕度污染；當空氣污染指數(shù)為150～200時，空氣質量級別為四級，空氣質量狀況屬于中度污染； 2015年1月某日某省x個監(jiān)測0點數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

空氣污染指數(shù) （單位：μg/m3）	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]
監(jiān)測點個數(shù)	15	40	y	15

（Ⅰ）根據(jù)所給統(tǒng)計表和頻率分布直方圖中的信息求出x，y的值，并完成頻率分布直方圖；
（Ⅱ）統(tǒng)計部門從該省空氣質量“良好”和“輕度污染”的兩類監(jiān)測點中采用分層抽樣的方式抽取了7個監(jiān)測點，省環(huán)保部門再從中隨機選取3個監(jiān)測點進行調研，記省環(huán)保部門“選到空氣質量“良好”的城市個數(shù)為ξ”，求ξ的分布列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得0.003×50=$\frac{15}{x}$，15+40+y+15=x，由此能求出x，y，進而能完成頻率分布直方圖．
（Ⅱ）空氣良好有$\frac{7}{40+30}×40=4$個，輕度污染有$\frac{7}{40+30}×30=3$個，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列．

解答 解：（Ⅰ）由題意得0.003×50=$\frac{15}{x}$，解得x=100，
又15+40+y+15=100，解得y=30．
∵$\frac{40}{100×50}$=0.008，$\frac{30}{100×50}=0.006$，$\frac{15}{100×50}=0.003$，
∴完成頻率分布直方圖，如下圖：

（Ⅱ）空氣良好有$\frac{7}{40+30}×40=4$個，輕度污染有$\frac{7}{40+30}×30=3$個，
ξ的所有可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{1}{35}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{12}{35}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{18}{35}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{3}^{0}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{4}{35}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{4}{35}$

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查離散型隨機變量的分布列的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．