Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x-1）+$\frac{2a}{x}$（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x＞2，xln（x-1）＞a（x-2）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函數(shù)的定義域，求導(dǎo)，根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，利用△≤0，再對(duì)a分類討論即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）xln（x-1）＞a（x-2）恒成立，等價(jià)于f（x）-a＞0，構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)（Ⅰ）討論a的取值，判斷f（x）的單調(diào)區(qū)間，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題易知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴$f'（x）=\frac{1}{x-1}-\frac{2a}{x^2}=\frac{{{x^2}-2ax+2a}}{{{x^2}（x-1）}}$，…（2分）
設(shè)g（x）=x²-2ax+2a，△=4a²-8a=4a（a-2），
①當(dāng)△≤0，即0≤a≤2時(shí)，g（x）≥0，
∴f'（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，…（3分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）的對(duì)稱軸x=a，當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）＞0，
∴g（x）＞0，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
③當(dāng)a＞2時(shí)，設(shè)x₁，x₂（x1＜x2）是方程x²-2ax+2a=0的兩個(gè)根，
則x₁=a-$\sqrt{{a}^{2}-2a}$＞1，x₂=a+$\sqrt{{a}^{2}-2a}$，
當(dāng)1＜x＜x₁或x＞x₂時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（1，x₁），（x₂，+∞）上增函數(shù)，…（4分）
當(dāng)x₁＜x＜x₂時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（x₁，x₂）上是減函數(shù)；…（5分）
綜合以上可知：當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），無(wú)單調(diào)減區(qū)間；
當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（{1，a-\sqrt{{a^2}-2a}}），（{a+\sqrt{{a^2}-2a}，+∞}）$，
單調(diào)減區(qū)間為$（{a-\sqrt{{a^2}-2a}，a+\sqrt{{a^2}-2a}}）$； …（6分）
（Ⅱ）當(dāng)x＞2時(shí)，$xln（{x-1}）＞a（{x-2}）?ln（{x-1}）-a+\frac{2a}{x}=f（x）-a＞0$，…（7分）
令h（x）=f（x）-a，由（Ⅰ）知：①當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴h（x）在（2，+∞）上增函數(shù)，
∵當(dāng)x＞2時(shí)，h（x）＞h（2）=0，上式成立；
當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）在（a-$\sqrt{{a}^{2}-2a}$，a+$\sqrt{{a}^{2}-2a}$）是減函數(shù)，
∴h（x）在（2，a+$\sqrt{{a}^{2}-2a}$）是減函數(shù)，
x∈（2，a+$\sqrt{{a}^{2}-2a}$）時(shí)，h（x）＜h（2）=0，上式不成立，
綜上，a的取值范圍是（-∞，2]．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問(wèn)題綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是通過(guò)分類討論得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及會(huì)轉(zhuǎn)化利用已證的結(jié)論解決問(wèn)題，屬于難題．