Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（1+2a）x+alnx（a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線y=f（x）在x=1處切線的方程；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，討論函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，并寫(xiě)出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定切線的斜率，從而可求曲線y=f（x）在x=1處切線的方程；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的零點(diǎn)，再進(jìn)行分類(lèi)討論，從而可確定函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x²+x-lnx，則f′(x)=2x+1-

1

x

∴f（1）=2，f′（1）=2
∴曲線y=f（x）在x=1處切線的方程為y-2=2（x-1）
即y=2x；
（2）由題意得，f′(x)=2x-(1+2a)+

a

x

=

(2x-1)(x-a)

x

(x＞0)
由f′（x）=0，得x1=

1

2

，x2=a
①當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜a或

1

2

＜x＜1；
令f′（x）＜0，x＞0，可得a＜x＜

1

2

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，a）和(

1

2

，1)，單調(diào)減區(qū)間是(a，

1

2

)；
②當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f′(x)= 

(2x-1)2

2x

≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f′（x）=0，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)增函數(shù)；
③當(dāng)

1

2

＜a＜ 1時(shí)，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜a或a＜x＜1；
令f′（x）＜0，x＞0，可得

1

2

＜x＜a
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，

1

2

）和（a，1），單調(diào)減區(qū)間是(

1

2

，a)；
④當(dāng)a≥1時(shí)，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜

1

2

；
令f′（x）＜0，x＞0，可得

1

2

＜x＜1
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，

1

2

），單調(diào)減區(qū)間是(

1

2

，1)．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．