Question

對于函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）．
（1）探索并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？若有，求出實(shí)數(shù)a的值，并證明你的結(jié)論；若沒有，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）先由f（0）=0求得a=1，再證明f（-x）=-f（x），恒成立．

解答： 解：∵f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）．
∴f′（x）=

2ln2•2x

(2x+1)2

＞0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)
（2）由f（0）=a-

2

20+1

=0，得a=1，
∴f（x）=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

，
∵f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x）
所以當(dāng)a=1時(shí)，f（x）為奇函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．