Question

在等比數(shù)列{a_n}中，公比q∈（0，1），且a₅=4，a₄+a₆=10，
（1）求數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，試用定義證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,等差關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出首項(xiàng)與公比，即可求數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n；
（2）確定數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，再利用定義證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．

解答： 解：（1）∵a₅=4，a₄+a₆=10，
∴a₁q⁴=4，a₁q³+a₁q⁵=10，
∵q∈（0，1），
∴a₁=64，q=

1

2

，
∴an=27-n；S_n=

64[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=128（1-2^-n）；
（2）證明：由（1）可得an=27-n，
∴b_n=log₂a_n=log227-n=7-n，b₁=6…6分
∴b_n+1-b_n=7-（n+1）-7+n=-1，
∴{b_n}是以首項(xiàng)為6，公差為-1的等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查定義證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．