Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=0，a₂=2，且a_n+1+a_n-1=2（a_n+1）（n≥2）
（1）求證：數(shù)列{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）直接由數(shù)列遞推式變形得到數(shù)列{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列；
（2）求出等差數(shù)列{a_n+1-a_n}的通項公式，利用累加法求解{a_n}的通項公式．

解答： （1）證明：由a_n+1+a_n-1=2（a_n+1），得
（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是公差為2的等差數(shù)列；
（2）解：由{a_n+1-a_n}是公差為2的等差數(shù)列，且a₁=0，a₂=2，得
a_n+1-a_n=（a₂-a₁）+2（n-1）=2n．
∴a₂-a₁=2×1．
a₃-a₂=2×2．
a₄-a₃=2×3．
…
a_n-a_n-1=2（n-1）（n≥2）．
累加得：a_n=a₁+2（1+2+…+n-1）=0+2•

n(n-1)

2

=n2-n（n≥2）．
驗證n=1時上式成立，
∴an=n2-n．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項公式，是中檔題．