Question

4．設(shè)函數(shù)$f（x）=|{x+\sqrt{a}}|-|{x-\sqrt{1-a}}$|．
（I）當a=1時，解不等式：f（x）≥$\frac{1}{2}$；
（II）若對任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b解集不為空集，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，去掉絕對值，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為b≤（f（x））_max，根據(jù)不等式的性質(zhì)求出f（x）的最大值，從而求出b的范圍即可．

解答 解：（I）當a=1時，解不等式：$f（x）≥\frac{1}{2}$等價于$|{x+1}|-|x|≥\frac{1}{2}$，
①當x≤-1時，不等式化為$-x-1+x≥\frac{1}{2}$，無解；
②當-1＜x＜0時，不等式化為$x+1+x≥\frac{1}{2}$，解得$\frac{-1}{4}≤x＜0$；
③當x≥0時，不等式化為$x+1-x≥\frac{1}{2}$，解得x≥0．
綜上所述，不等式$f（x）≥\frac{1}{2}$的解集為$[{-\frac{1}{4}，+∞}）$；
（II）∵不等式f（x）≥b解集不為空集，
∴b≤（f（x））_max
∵$f（x）=|{x+\sqrt{a}}|-|{x-\sqrt{1-a}}|≤|{x+\sqrt{a}-x+\sqrt{1-a}}|=|{\sqrt{a}+\sqrt{1-a}}|=\sqrt{a}+\sqrt{1-a}$，
且僅當$x≥\sqrt{1-a}$時取等號，∴${（{f（x）}）_{max}}=\sqrt{a}+\sqrt{1-a}$，
對任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b解集不為空集，
∴$b≤{[{\sqrt{a}+\sqrt{1-a}}]_{min}}$，令$g（a）=\sqrt{a}+\sqrt{1-a}$，
∴${g^2}（a）=1+2\sqrt{a}\sqrt{1-a}≤1+2\sqrt{a（1-a）}=1+2\sqrt{-{{（a-\frac{1}{2}）}^2}+\frac{1}{4}}$，
∵當$a∈[0，\frac{1}{2}]$上遞增，$a∈[\frac{1}{2}，1]$遞減，當且僅當a=0或a=1，g（a）_min=1，
∴b的取值范圍為（-∞，1]．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．