Question

已知曲線C₁的直角坐標方程為

x2

4

+y²=1，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，P是曲線C₁上一點，∠xOP=α（0≤α≤π），將點P繞點O逆時針旋轉角α后得到點Q，

OM

=2

OQ

，點M的軌跡是曲線C₂，
（1）求曲線C₂的極坐標方程；
（2）求|OM|的取值范圍．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：

分析：（Ⅰ）把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入橢圓方程可得曲線C₁的極坐標方程

cos2θ

4

+sin²θ=

1

ρ2

．在極坐標系中，設M（ρ，θ），P（ρ₁，α），由題意可知，ρ₁=

ρ

2

，α=

θ

2

．由于點P在曲線C₁上，可得

cos2θ

4

+sin²α=

1

ρ 2 1

．由以上即可得曲線C₂的極坐標方程．
（II）由（Ⅰ）得

1

|OM|2

=

1

16

（1+3sin²

θ

2

）．即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）曲線C₁的極坐標方程為

ρ2cos2θ

4

+ρ²sin²θ=1，即

cos2θ

4

+sin²θ=

1

ρ2

．
在極坐標系中，設M（ρ，θ），P（ρ₁，α），
由題意可知，ρ₁=

ρ

2

，α=

θ

2

．①
∵點P在曲線C₁上，
∴

cos2θ

4

+sin²α=

1

ρ 2 1

．②
由①②得曲線C₂的極坐標方程為

1

ρ2

=

cos2 θ 2

16

+

sin2 θ 2

4

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

1

|OM|2

=

1

16

（1+3sin²

θ

2

）．
∵

1

|OM|2

的取值范圍是[

1

16

，

1

4

]，
∴|OM|的取值范圍是[2，4]．

點評：本題考查了橢圓的極坐標方程、直角坐標和極坐標方程、正弦函數(shù)的單調性，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．