Question

已知圓F₁：（x+1）²+y²=16，定點(diǎn)F₂（1，0），動(dòng)圓過點(diǎn)F₂，且與圓F₁相內(nèi)切．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）若過原點(diǎn)的直線l與（1）中的曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且△ABF₁的面積為，求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)圓M的半徑為r．
因?yàn)閳A過點(diǎn)F₂，且與圓F₁相內(nèi)切．
所以MF₂=r，
所以MF₁=4-MF₂，即：MF₁+MF₂=4，
所以點(diǎn)M的軌跡C是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓且設(shè)橢圓方程為，
其中2a=4，c=1，所以，
所以曲線C的方程．

（2）因?yàn)橹本�l過橢圓的中心，由橢圓的對(duì)稱性可知，，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/537777.png' />，所以．
不妨設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）在x軸上方，則．
所以，，即：點(diǎn)A的坐標(biāo)為或．
所以直線l的斜率為，故所求直線方和程為x±2y=0．
分析：（1）設(shè)出M的半徑，依據(jù)題意列出關(guān)系MF₁+MF₂=4，可求軌跡C的方程．
（2）根據(jù)橢圓性質(zhì)以及△ABF₁的面積為，可以求得A、B的坐標(biāo)，再求直線l的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，橢圓的定義，是中檔題．