Question

已知圓F₁：（x+1）²+y²=16，定點F₂（1，0），動圓過點F₂，且與圓F₁相內切．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）若過原點的直線l與（1）中的曲線C交于A，B兩點，且△ABF₁的面積為，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出M的半徑，依據(jù)題意列出關系MF₁+MF₂=4，可求軌跡C的方程．
（2）根據(jù)橢圓性質以及△ABF₁的面積為，可以求得A、B的坐標，再求直線l的方程．
解答：解：（1）設圓M的半徑為r．
因為圓過點F₂，且與圓F₁相內切．
所以MF₂=r，
所以MF₁=4-MF₂，即：MF₁+MF₂=4，
所以點M的軌跡C是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓且設橢圓方程為，
其中2a=4，c=1，所以，
所以曲線C的方程．

（2）因為直線l過橢圓的中心，由橢圓的對稱性可知，，
因為，所以．
不妨設點A（x₁，y₁）在x軸上方，則．
所以，，即：點A的坐標為或．
所以直線l的斜率為，故所求直線方和程為x±2y=0．
點評：本題考查圓與圓的位置關系，考查轉化思想，橢圓的定義，是中檔題．