已知，用單位圓求證下面的不等式：
（1）sinx＜x＜tanx；
（2）．
【答案】分析：（1）利用單位圓中的三角函數(shù)線，通過(guò)面積關(guān)系證明sinx＜x＜tanx；
（2）利用（1）的結(jié)論，采用放縮法，求出=推出結(jié)果．
解答：證明：（1）如圖，在單位圓中，有sinx=MA，cosx=OM，
tanx=NT，連接AN，則S△OAN＜S扇形OAN＜S△ONT，
設(shè)的長(zhǎng)為l，則，
∴，即MA＜x＜NT，
又sinx=MA，cosx=OM，tanx=NT，
∴sinx＜x＜tanx；

（2）∵均為小于的正數(shù)，由（1）中的sinx＜x得，，
將以上2010道式相乘得=，
即．
點(diǎn)評(píng)：本題考查單位圓的應(yīng)用，不等式的證明的方法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知0＜x＜
π
2
，用單位圓求證下面的不等式：
（1）sinx＜x＜tanx；
（2）sin
1
2
•sin
2
3
•sin
3
4
•…•sin
2010
2011
＜
1
2010
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知P是單位圓（圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)）上一點(diǎn)，∠x(chóng)OP=
π
3
，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N．
（1）比較|OM|與
π
6
的大小，并說(shuō)明理由；
（2）∠AOB的兩邊交矩形OMPN的邊于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB=
π
4
，求
OA
•
OB
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A是單位圓上的點(diǎn)，且點(diǎn)A在第二象限內(nèi)，點(diǎn)B是此圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，記∠AOB=α，若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為
3
4
，則tan（π-2α）=
-3
7
-3
7
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•韶關(guān)二模）已知A是單位圓上的點(diǎn)，且點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)B是此圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，記∠AOB=α，若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為
3
5
．則sinα=
3
5
3
5
； tan2α=
-
24
7
-
24
7
．

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