Question

【題目】如圖，由半圓和部分拋物線合成的曲線稱為“羽毛球開線”，曲線與軸有兩個(gè)焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)

(1)求的值；

(2)設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；

(3)過且斜率為的直線與“羽毛球形線”相交于點(diǎn)三點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，且，詳見解析

【解析】

（1）將代入求出，再由與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程，即可求出；

（2）先設(shè)，得到，分別討論，和兩種情況，由拋物線與圓的方程，即可求出結(jié)果；

（3）先由題意得到的方程，與拋物線聯(lián)立，求出；與圓聯(lián)立，求出，根據(jù)得到，化簡(jiǎn)得到關(guān)于的方程，求解，即可得出結(jié)果.

（1）由題意，將代入，得到；所以拋物線；

又與軸交于，所以，代入圓的方程，可得；

所以，；

（2）設(shè)，因?yàn)?/span>，則，

當(dāng)時(shí)，，所以，

所以時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，，

所以時(shí)，；

而，所以的最小值為；

（3）由題意，可得：的方程為，

由，整理得：，

解得或，即；

由，整理得：

解得：或，則，

由，可得，

即，整理得，解得（由題意，負(fù)值舍去）

因此，存在實(shí)數(shù)，使得.