Question

19．函數(shù)f（x）=x³+ax²+b的圖象在點(diǎn)P（1，0）處的切線與直線3x+y=0平行．
（1）求a，b；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，t]（t＞0）內(nèi)的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）首先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)曲線在P（1，0）處的切線斜率是-3，求出a的值；然后根據(jù)函數(shù)過(guò)點(diǎn)P（1，0），求出b的值，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的解析式即可；
（2）由f（x）=x³-3x²+2，f′（x）=3x²-6x，令f′（x）=0，可得x=0或x=2，然后分類(lèi)討論，求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]（t＞0）上的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）因?yàn)閒′（x）=3x²+2ax，曲線在P（1，0）處的切線斜率為f′（1）=3+2a，
即3+2a=-3，
所以a=-3；
又因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)（1，0）點(diǎn)，
即-2+b=0，
所以b=2，…（5分）
（2）由（1）知f（x）=x³-3x²+2，f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
f′（x）與f（x）隨x變化情況如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		2		-2

由f（x）=f（0）解得x=0，或x=3，
因此根據(jù)f（x）的圖象，
當(dāng)0＜t≤2時(shí)，f（x）的最大值為f（0）=2，
最小值為f（t）=t³-3t²+2；
當(dāng)2＜t≤3時(shí)，f（x）的最大值為f（0）=2，
最小值為f（2）=-2；
當(dāng)t＞3時(shí)，f（x）的最大值為f（t）=t³-3t²+2，
最小值為f（2）=-2．         …（12分）

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題．