Question

16．在四棱錐P-ABCD中，四條側(cè)棱長均為2，底面ABCD為正方形，E為PC的中點．若異面直線PA與BE所成的角為45°，則四棱錐的體積是（　�。�

• A． 4
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)底面ABCD的中心為O，PC中點為E，則∠BEO為異面直線PA與BE所成的角，于是OE=OB=1，從而求出棱錐的底面邊長和棱錐的高．

解答 解：設(shè)底面ABCD的中心為O，PC中點為E，連結(jié)AC，OE，OB，PO．
則OE∥PA，OE=$\frac{1}{2}$PA=1．
∴∠BEO為異面直線PA與BE所成的角，即∠BEO=45°．
∵四邊形ABCD是正方形，∴BO⊥AC．
∵PO⊥OB，PO∩AC=O，
∴BO⊥平面PAC，∵OE?平面PAC，
∴OB⊥OE，
∴△BOE是等腰直角三角形，
∴OB=OE=1，
∴PO=$\sqrt{P{B}^{2}-O{B}^{2}}=\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{2}$．
∴四棱錐的體積V=$\frac{1}{3}×（\sqrt{2}）^{2}×\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選D．

點評 本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，空間角的作法，體積計算，屬于中檔題．