Question

【題目】設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，并且滿足下面三個(gè)條件： ①對(duì)任意正數(shù)x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0；
③f（3）=1，
（1）求f（1）， 的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)性，并用定義給出證明；
（3）對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，f（kx）+f（4﹣x）＜2（k為常數(shù)，且k＞0）恒成立，求正實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=1，得f（1）=0，令x=3， ，

則 ，所以

（2）解：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，證明如下

任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）= ，

因?yàn)閤1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，則 ，又x＞1時(shí)，f（x）＞0，

所以 ，即f（x1）＜f（x2），

函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增

（3）解：f（9）=f（3）+f（3）=2，

由（2）知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增

不等式f（kx）+f（4﹣x）＜2可化為f（kx（4﹣x））＜f（9），因?yàn)閗＞0

不等式故可化為 ，

由題可得，0＜x＜4時(shí)，kx（4﹣x）＜9恒成立，

即0＜x＜4時(shí)， 恒成立， 0＜x＜4，y=x（4﹣x）∈（0，4]，

所以

所以

【解析】（1）利用賦值法即可求f（1）， 的值；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)性；（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．