Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于⊙O：x²+y²=1來說，P是坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到⊙O的距離S_P的定義如下：若P與O重合，S_P=r；若P不與O重合，射線OP與⊙O的交點(diǎn)為A，S_P=AP的長度（如圖）．
（1）直線2x+2y+1=0在圓內(nèi)部分的點(diǎn)到⊙O的最長距離為1-$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
（2）若線段MN上存在點(diǎn)T，使得：
①點(diǎn)T在⊙O內(nèi)；
②?點(diǎn)P∈線段MN，都有S_T≥S_P成立．則線段MN的最大長度為4．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)到的坐標(biāo)和新定義進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)點(diǎn)T在⊙O內(nèi)，得到S_T≤1，然后根據(jù)不等式S_T≥S_P成立，的S_P≤1，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）作出對應(yīng)的圖象如圖：
由圖象可知當(dāng)直線與2x+2y+1=0垂直時對應(yīng)的交點(diǎn)P，此時P到⊙O的距離最長，
此時OP=$\frac{|1|}{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，則AP=1-OP=1-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
（2）∵點(diǎn)T在⊙O內(nèi)，∴S_T≤1，
∵S_T≥S_P成立，∴S_P≤1，
∴當(dāng)線段MN過原點(diǎn)時，MN的最大長度為1+2+1=4，

故答案為：4．

點(diǎn)評 本題主要考查與圓有關(guān)的新定義，根據(jù)條件讀懂題意是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的推理能力，質(zhì)量較高．