Question

3．設f（x）是定義在R上的增函數(shù)，且對任意x，都有f（-x）+f（x）=0恒成立，如果實數(shù)m，n滿足不等式f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0，則m²+n²的取值范圍是（　�。�

• A． （9，25）
• B． （3，7）
• C． （9，49）
• D． （13，49）

Answer 1

分析 根據(jù)對于任意的x都有f（-x）+f（x）=0恒成立，不等式可化為f（m²-6m+21）＜f（-n²+8n），利用f（x）是定義在R上的增函數(shù)，可得（m-3）²+（n-4）²＜4，確定（m-3）²+（n-4）²=4內(nèi)的點到原點距離的取值范圍，利用m²+n² 表示（m-3）²+（n-4）²=4內(nèi)的點到原點距離的平方，即可求得m²+n² 的取值范圍．

解答 解：∵對于任意的x都有f（-x）+f（x）=0恒成立
∴f（-x）=-f（x）
∵f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0，
∴f（m²-6m+21）＜-f（n²-8n）=f（-n²+8n），
∵f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
∴m²-6m+21＜-n²+8n
∴（m-3）²+（n-4）²＜4
∵（m-3）²+（n-4）²=4的圓心坐標為：（3，4），半徑為2，
∴（m-3）²+（n-4）²=4內(nèi)的點到原點距離的取值范圍為（5-2，5+2），即（3，7）
∵m²+n² 表示（m-3）²+（n-4）²=4內(nèi)的點到原點距離的平方
∴m²+n² 的取值范圍是（9，49）；
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，涉及圓的標準方程以及點與圓的位置關系，解題的關鍵是確定圓內(nèi)的點到原點距離的取值范圍．