Question

20．已知{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列（公比q＞1），b_n=log₂a_n，b₁+b₂+b₃=3，b₁b₂b₃=-3，則a_n=（　　）

• A． ${a_n}={2^{2n-3}}$
• B． ${a_n}={2^{5-2n}}$
• C． ${a_n}={2^{2n-5}}$
• D． ${a_n}={2^{2n-3}}$或${a_n}={2^{5-2n}}$

Answer 1

分析 設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，則log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃=3，從而a₁a₂a₃=8，進(jìn)而a₂=2．由b₁b₂b₃=-3，得log₂a₁•log₂a₂•log₂a₃=-3，從而log₂a₁•log₂a₃=-3，進(jìn)而（log₂a₂-log₂q）（log₂a₂+log₂q）=-3，解得q=4，${a}_{1}=\frac{{a}_{2}}{q}=\frac{1}{2}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，
∵b₁+b₂+b₃=3，∴l(xiāng)og₂a₁+log₂a₂+log₂a₃=3，
∴l(xiāng)og₂（a₁a₂a₃）=3，∴a₁a₂a₃=8，∴a₂=2．
∵b₁b₂b₃=-3，∴l(xiāng)og₂a₁•log₂a₂•log₂a₃=-3，
∴l(xiāng)og₂a₁•log₂a₃=-3，
∴${log_2}\frac{a_2}{q}•{log_2}（{a_2}•q）=-3$，
即（log₂a₂-log₂q）（log₂a₂+log₂q）=-3，
即（1-log₂q）（1+log₂q）=-3，解得log₂q=±2，
又∵q＞1，∴l(xiāng)og₂q=2，解得q=4，${a}_{1}=\frac{{a}_{2}}{q}=\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2}×{4}^{n-1}={2}^{2n-3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列、對(duì)數(shù)性質(zhì)及運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．