Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，已BC=1，∠BCC₁=

π

3

．CC₁=2，AB=

2

．求 證：（1）C₁B⊥平面ABC；
（2）試在棱CC₁（不包含端點C、C₁）上確定一點E的位置，使得EA⊥EB₁；
（3）在（2）的條件下，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得AB⊥BC₁，C₁B⊥BC，由此能證明C₁B⊥平面ABC．
（2）以線段BB₁為直徑畫圓O，分別交線段CC₁于點E、C₁．由已知條件推導(dǎo)出線段CC₁的中點E即是要求的點．
（3）以B為原點，BC為x軸，BC₁為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

解答： （1）證明：∵AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，∴AB⊥BC₁．
在△BC₁C中，BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

，
由余弦定理得BC₁=

BC2+CC12-2BC•CC1•cos π 3

=

1+4-2×1×2× 1 2

=

3

，
故有BC²+BC²₁=CC²₁，∴C₁B⊥BC，
 而BC∩AB=B且AB，BC?平面ABC，
∴C₁B⊥平面ABC．
（2）解：如圖所示：以線段BB₁為直徑畫圓O，分別交線段CC₁于點E、C₁．
下面說明點E、C₁是上述所畫的圓與線段CC₁的交點．
①∵B₁C₁=OB₁=1，∠OB₁C=

π

3

，
∴△OB₁C₁是正三角形，∴OC₁=1，即點C₁在所畫的圓上．
②作OK⊥CC₁，垂足為K，取EK=KC₁，則點E也在所畫的圓上．
∵OE=OC₁=1，∴點E也在所畫的圓上．
∵CC₁∥BB₁，∴∠OBE=∠OB₁C₁=

π

3

，
∴△OBE是正三角形，∴EB=1，
∴EB=BC=1，又∠BCE=

π

3

，∴△BCE為正三角形，
∴CE=1，即E點是線段CC₁的中點．
下面證明點E滿足條件．
∵AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，B₁E⊥BE，
據(jù)三垂線定理可得B₁E⊥AE．
故線段CC₁的中點E即是要求的點．
（3）解：以B為原點，BC為x軸，BC₁為y軸，BA為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
A（0，0，

2

），E（1，1，0），B₁（0，2，0），A₁（0，2，

2

），

EA

=（-1，-1，

2

），

EB1

=（-1，1，0），

EA1

=（-1，1，

2

），
設(shè)平面AEB₁的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • EA =-x-y+ 2 z=0 n • EB1 =-x+y=0

，取x=1，得

n

=（1，1，

2

），
設(shè)平面A₁EB₁的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • A1E =-a+b+ 2 c=0 m • EB1 =-a+b=0

，取a=1，得

m

=（1，1，0），
cos＜

n

，

m

＞=

1+1+0

4 • 2

=

2

2

，
∴二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值為1．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查滿足條件的點的確定，考查二面角的正切值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．