已知數(shù)列{an}中,a2=a+2(a為常數(shù)),Sn是{an}的前n項和,且Sn是nan與ne的等差中項,

       (1)求a1、a3;

       (2)猜想an的表達式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

      

解析:(1)∵Sn是nan與na的等差中項,?

       ∴2Sn=nan+na.①?

       ∴2a1=a1+a.∴a1=a.?

       又n≥2時,2Sn-1=(n-1)an-1+(n-1)a,②?

       ①-②得2an=nan-(n-1)an-1+a,?

       ∴an=(n≥2).?

       又a2=a+2,∴a3==2a+4-a=a+4.??

       (2)猜想an=a+2(n-1).?

       證明:(ⅰ)n=1時,顯然成立.?

       (ⅱ)假設(shè)n=k(k∈N*)時成立,即ak=a+2(k-1),?

       那么n=k+1時,ak+1===a+2k=a+2［(k+1)-1］,?

       故n=k+1時也成立,由(ⅰ)(ⅱ)知,對n∈N*均有an=a+2(n-1).

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，則
lim
n→∞
an=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，則{an}的通項公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求數(shù)列{
2n
an
}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，Sn為數(shù)列的前n項和，且Sn與
1
an
的一個等比中項為n(n∈N*），則
lim
n→∞
Sn=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，則數(shù)列{an}的通項公式為（　　）
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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