Question

在等比數(shù)列{a_n}中，S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，且S₃=

7

2

，S₆=

63

2

，
（1）求a_n．
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）依題意，可得到關(guān)于首項(xiàng)a₁與公比q的方程組，解之即可，從而可求a_n；
（2）由（1）知a_n=2^n-2，于是T_n=1•2^-1+2•2⁰+3•2¹+…+n•2^n-2，利用錯(cuò)位相減法即可求得T_n．

解答：解：（1）當(dāng)q=1時(shí)，不合題意，舍去-------------------------（1分）
當(dāng)q≠1時(shí)，

a1(1-q3)

1-q

=

7

2

且

a1(1-q6)

1-q

=

63

2

，
解得q=2，a₁=

1

2

---------------------------------------（4分）
所以a_n=2^n-2------------------------------------（6分）
（2）na_n=n•2^n-2---------------------------------------------------（7分）
所以T_n=1•2^-1+2•2⁰+3•2¹+…+n•2^n-2 ①
2T_n=1•2⁰+2•2¹+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1 ②
①-②：-T_n=

1

2

+2⁰+2¹+…+2^n-2-n•2^n-1--------------------------（9分）
所以T_n=（n-1）•2^n-1+

1

2

----------------------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，著重考查錯(cuò)位相減法求和，考查解方程的能力，屬于中檔題．