Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x+m）
（Ⅰ）當(dāng)m=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值，并求此時(shí)x的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0， 

π

6

]時(shí)，-4＜f（x）＜4恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x+m），將m=-1代入我們易求出函數(shù)f（x）的解析式，然后根據(jù)正弦型函數(shù)求最值的方法，即可求出函數(shù)f（x）的最小值，并求此時(shí)x的值；
（2）由當(dāng)x∈[0， 

π

6

]時(shí)，-4＜f（x）＜4恒成立，我們可以構(gòu)造關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式，解不等式即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：f(c)=2cos2x+

3

sin2x+m
=1+cos2x+

3

sin2x+m
=2sin(2x+

π

6

)+m+1
（Ⅰ）當(dāng)m=-1時(shí)，f(x)=2sin(2x+

π

6

)
當(dāng)2x+

π

6

=2kπ-

π

2

  (k∈Z)時(shí)，
函數(shù)f（x）取最小值，f（x）_min=-2，
此時(shí)x=kπ-

π

3

  (k∈Z)
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

6

∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

故

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1
∴2+m≤f（x）≤3+m
依題意當(dāng)x∈[0，

π

6

]時(shí)，
-4＜f（x）＜4恒成立
∴

f(x)min＞-4  f(x)max＜4

，
即

2+m＞-4 3+m＜4

解得-6＜m＜1，為所求的實(shí)數(shù)m的取值范圍

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量數(shù)量積運(yùn)算，及正弦型函數(shù)的最值及性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由ω決定，即要求三角函數(shù)的周期與最值一般是要將其函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，再根據(jù)最大值為|A|，最小值為-|A|，周期T=

2π

ω

進(jìn)行求解．