Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0）上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的最小距離是-1，F(xiàn)到上頂點(diǎn)的距離為，點(diǎn)C（m，0）是線段OF上的一個(gè)動點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，使得（+）⊥，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知a-c=-1且，解得a=，b=c=1，由此可求出橢圓的方程．
（2）假設(shè)存在滿足題意的直線l，設(shè)l的方程為y=k（x-1），代入，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題設(shè)條件能夠?qū)С霾淮嬖谶@樣的直線l．
解答：解：（1）由題意可知a-c=-1且，
解得a=，b=c=1，
∴橢圓的方程為；
（2）由（1）得F（1，0），所以0≤m≤1．
假設(shè)存在滿足題意的直線l，設(shè)l的方程為
y=k（x-1），代入，
得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，①
∴，
∴，
∵而AB的方向向量為（1，k），
∴
∴當(dāng)0≤m＜時(shí)，k=±，即存在這樣的直線l；
當(dāng)≤m≤1時(shí)，k不存在，即不存在這樣的直線l．
點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合知識，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．