Question

已知θ是第二象限角，且sinθ=

4

5

，則tan(

θ

2

-

π

4

)的值為

1

5

．

Answer 1

分析：由θ是第二象限角，及sinθ的值，利用同角三角函數間的基本關系求出cosθ的值，進而確定出tanθ的值，利用二倍角的正切函數公式化簡，求出tan

θ

2

的值，將所求式子利用兩角和與差的正切函數公式及特殊角的三角函數值化簡，把tan

θ

2

的值代入計算，即可求出值．

解答：解：∵θ是第二象限角，且sinθ=

4

5

，
∴cosθ=-

1-sin2θ

=-

3

5

，tanθ=-

4

3

，
∴tanθ=

2tan θ 2

1-tan2 θ 2

=-

4

3

，即2tan²

θ

2

-3tan

θ

2

-2=0，
解得：tan

θ

2

=-

1

2

（不合題意，舍去）或tan

θ

2

=2，
則tan（

θ

2

-

π

4

）=

tan θ 2 -1

1+tan2 θ 2

=

2-1

1+4

=

1

5

．
故答案為：

1

5

點評：此題考查了兩角和與差的正切函數公式，二倍角的正切函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵．