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14.已知雙曲線x2a2y22=1兩漸近線的夾角θ滿足sinθ=\frac{4}{5},焦點到漸近線的距離d=1,則該雙曲線的焦距為(  )
A.\sqrt{5}B.\frac{\sqrt{5}}{2}\sqrt{5}C.\sqrt{5}2\sqrt{5}D.以上都不是

分析 運用雙曲線\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1兩漸近線的夾角θ滿足sinθ=\frac{4}{5},得到\frac{a}=2或\frac{1}{2},結(jié)合點到直線的距離公式可得b,再由a,b,c的關(guān)系即可得到c,進而得到焦距.

解答 解:∵雙曲線\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1兩漸近線的夾角θ滿足sinθ=\frac{4}{5},
\frac{a}=2或\frac{1}{2},
設(shè)焦點為(c,0),漸近線方程為y=\frac{a}x,
則d=\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=b=1,
又b2=c2-a2=1,
解得c=\frac{\sqrt{5}}{2}\sqrt{5}
則有焦距為\sqrt{5}或2\sqrt{5}
故選C.

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),主要考查焦距和漸近線方程的運用,屬于中檔題.

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