Question

14．進入冬季以來，我國北方地區(qū)的霧霾天氣持續(xù)出現(xiàn)，極大的影響了人們的健康和出行，我市環(huán)保局對該市2015年進行為期一年的空氣質(zhì)量監(jiān)測，得到每天的空氣質(zhì)量指數(shù)，從中隨機抽取50個作為樣本進行分析報告，樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到樣本的空氣質(zhì)量指數(shù)頻率分布直方圖，如圖．
（1）求a的值；
（2）如果空氣質(zhì)量指數(shù)不超過15，就認定空氣質(zhì)量為“特優(yōu)等級”，則從今年的監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取3天的數(shù)值，其中達到“特優(yōu)等級”的天數(shù)為X．求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1，由此能求出a．
（2）由已知得X的取值為0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{5}$），由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1，
得：（0.02+0.032+a+0.018）×10=1，
解得a=0.03．
（2）利用樣本估計總體，該年度空所質(zhì)量指數(shù)在（5，15]內(nèi)為“特優(yōu)等級”，
且指數(shù)達到“特優(yōu)等級”的概率為0.2，
則X的取值為0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{5}$），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{4}{5}）^{3}$=$\frac{64}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{5}）（\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{48}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{5}）^{2}（\frac{4}{5}）$=$\frac{12}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{5}）^{3}=\frac{1}{125}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

∴EX=0×$\frac{64}{125}$+1×$\frac{48}{125}$+2×$\frac{12}{125}$+3×$\frac{1}{125}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．