【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足2an=2+Sn．

（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；

（2）設(shè)bn=log2a2n+1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）運用數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義，即可得證；

（2）運用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和．

（1）證明：數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足2an=2+Sn，

可得2a1=2+S1=2+a1，解得a1=2；

n≥2時，2an-1=2+Sn-1，又2an=2+Sn，

相減可得2an-2an-1=2+Sn-2-Sn-1=an，

即an=2an-1，可得數(shù)列{an}是首項、公比均為2的等比數(shù)列；

（2）由（1）可得an=2n，

bn=log2a2n+1=log222n+1=2n+1，

數(shù)列{bn}的前n項和Tn=（3+2n+1）n=n2+2n．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：，點為直線上任一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，

（1）證明，，三點的縱坐標成等差數(shù)列；

（2）已知當點坐標為時，，求此時拋物線的方程；

（3）是否存在點，使得點關(guān)于直線的對稱點在拋物線上，其中點滿足，若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率都是40%．現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有一次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5，6 ,7 ,8 ,9 ,0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)作為一組，代表三次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：907, 966, 191, 925, 271, 932, 812，458, 569, 683, 431, 257, 393, 027, 556, 488, 730, 113, 537, 989．據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有一次命中的概率為 （ ）

A. 0．25 B. 0．2 C. 0．35 D. 0．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓C：的兩個焦點是和，且橢圓C與圓有公共點．

（1）求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若橢圓C上的點到焦點的最短距離為，求橢圓C的方程；

（3）對（2）中的橢圓C，直線l：與C交于不同的兩點M、N，若線段MN的垂直平分線恒過點，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=，AC=2，∠BAC=∠A1AC=45°，∠BAA1=60°，F為棱AC的中點，E在棱BC上，且BE=2EC．

（Ⅰ）求證：A1B∥平面EFC1；

（Ⅱ）求三棱柱ABC-A1B1C1的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將兩塊三角板按圖甲方式拼好，其中， ， ，

，現(xiàn)將三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如圖乙．

（1）求證： ；

（2）求證： 為線段中點；

（3）求二面角的大小的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】越接近高考學(xué)生焦慮程度越強，四個高三學(xué)生中大約有一個有焦慮癥，經(jīng)有關(guān)機構(gòu)調(diào)查，得出距離高考周數(shù)與焦慮程度對應(yīng)的正常值變化情況如下表周數(shù)

周數(shù)x

6

5

4

3

2

1.

正常值y

55

63

72

80

90

99

其中，，，

（1）作出散點圖；

（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回方程（精確到0.01）

（3）根據(jù)經(jīng)驗觀測值為正常值的0.85～1.06為正常，若1.06～1.12為輕度焦慮，1.12～1.20為中度焦慮，1.20及以上為重度焦慮。若為中度焦慮及以上，則要進行心理疏導(dǎo)。若一個學(xué)生在距高考第二周時觀測值為103，則該學(xué)生是否需要進行心理疏導(dǎo)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的極值點；

（Ⅱ）若直線過點，并且與曲線相切，求直線的方程；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，其中，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠今年初用128萬元購進一臺新的設(shè)備，并立即投入使用，計劃第一年維修、保養(yǎng)費用8萬元，從第二年開始，每年的維修、保養(yǎng)修費用比上一年增加4萬元，該設(shè)備使用后，每年的總收入為54萬元，設(shè)使用x年后設(shè)備的盈利總額y萬元．

（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）從第幾年開始，該設(shè)備開始盈利？

（3）使用若干年后，對設(shè)備的處理有兩種方案：①年平均盈利額達到最大值時，以42萬元價格賣掉該設(shè)備；②盈利額達到最大值時，以10萬元價格賣掉該設(shè)備．問哪種方案處理較為合理？請說明理由．

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