Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，AB=AD=AP=1，PB=PD=

2

，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PA⊥底面ABCD；
（2）求證：平面FBE∥平面PAD；
（3）求三棱錐F-BCE的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用已知可得PA²+AD²=PD²，PA²+AD²=PD²，利用勾股定理的逆定理可得PA⊥AD，PA⊥AB，再利用線面垂直的判定定理即可證明；
（II）利用已知條件可得ABED為平行四邊形，得到BE∥AD；利用三角形的中位線定理可得EF∥DP，再利用面面平行的判定定理即可證明；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知PA⊥底面ABCD，又已知AP=1，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)，得F到底面ABCD的距離為

1

2

PA=

1

2

，利用三角形的面積公式得到△BCE的面積，利用三棱錐的體積公式得到三棱錐F-BCE的體積．

解答：（Ⅰ）證明：∵AB=AD=AP=1，PB=PD=

2

，
∴PA²+AD²=PD²，∴PA²+AD²=PD²，
∴∠PAD=90°，∴PA⊥AD，
同理可得：PA⊥AB，AB∩AD=A
∴PA⊥底面ABCD．
（Ⅱ）證明：∵AB∥CD，CD=2AB，E是CD的中點(diǎn)，
∴ABED為平行四邊形，
∴BE∥AD，
又∵BE?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
由于EF是△PCD的中位線，∴EF∥DP，
同理得∴EF∥平面PAD，
又EF∩BE=E，
∴平面FBE∥平面PAD．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知PA⊥底面ABCD，
由已知AP=1，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)，得F到底面ABCD的距離為

1

2

PA=

1

2

，
由已知AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，AB=AD=1，
S_△BCE=

1

2

×1×1=

1

2

，
∴三棱錐F-BCE的體積V=

1

3

×

1

2

×

1

2

=

1

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了空間線面的平行與垂直的位置關(guān)系、三棱錐的體積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了空間想象能力和推理能力．