Question

18．如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如圖乙），設(shè)點E、F分別為棱AC、AD的中點．
（1）求證：DC⊥平面ABC；
（2）設(shè)CD=1，求三棱錐A-BFE的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AB⊥CD，DC⊥BC，由此能證明DC⊥平面ABC．
（2）三棱錐A-BFE的體積V_A-BFE=V_F-ABE=$\frac{1}{3}×EF×{S}_{△ABE}$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）在圖甲中，∵AB=BD，且∠A=45°，
∴∠ADB=45°，∠ABC=90°，即AB⊥BD．
在圖乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，
且平面ABD∩平面BDC=BD，
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．
又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，
∵AB∩BC=B，∴DC⊥平面ABC．
（2）∵CD=1，點E、F分別為棱AC、AD的中點，
∴EF∥CD，且EF=$\frac{1}{2}CD$=$\frac{1}{2}$，AB=BD=2，BC=$\sqrt{3}$，
S_△ABE=$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵DC⊥平面ABC，∵EF⊥平面ABE，
∴三棱錐A-BFE的體積：
V_A-BFE=V_F-ABE=$\frac{1}{3}×EF×{S}_{△ABE}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．