【答案】
分析:(1)先寫出平移后圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=(x+1)
3-3(x+1)
2+2,整理得y=x
3-3x,由于函數(shù)y=x
3-3x是奇函數(shù),利用題設(shè)真命題知,函數(shù)g(x)圖象對稱中心.
(2)設(shè)h(x)=
的對稱中心為P(a,b),由題設(shè)知函數(shù)h(x+a)-b是奇函數(shù),從而求出a,b的值,即可得出圖象對稱中心的坐標.
(3)此命題是假命題.舉反例說明:函數(shù)f(x)=x的圖象關(guān)于直線y=-x成軸對稱圖象,但是對任意實數(shù)a和b,函數(shù)y=f(x+a)-b,即y=x+a-b總不是偶函數(shù).修改后的真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)”.
解答:解:(1)平移后圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=(x+1)
3-3(x+1)
2+2,整理得y=x
3-3x,
由于函數(shù)y=x
3-3x是奇函數(shù),由題設(shè)真命題知,函數(shù)g(x)圖象對稱中心的坐標是(1,-2).
(2)設(shè)h(x)=
的對稱中心為P(a,b),
由題設(shè)知函數(shù)h(x+a)-b是奇函數(shù).
設(shè)f(x)=h(x+a)-b,則f(x)=
-b,
即f(x)=
.
由不等式
的解集關(guān)于原點對稱,則-a+(4-a)=0,得a=2.
此時f(x)=
-b,x∈(-2,2).
任取x∈(-2,2),由f(-x)+f(x)=0,得b=1,
所以函數(shù)h(x)=
圖象對稱中心的坐標是(2,1).
(3)此命題是假命題.
舉反例說明:函數(shù)f(x)=x的圖象關(guān)于直線y=-x成軸對稱圖象,
但是對任意實數(shù)a和b,函數(shù)y=f(x+a)-b,即y=x+a-b總不是偶函數(shù).
修改后的真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)”.
點評:本小題主要考查命題的真假判斷與應(yīng)用,考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)的對稱性等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.