Question

3．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
（I）求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線θ=$\frac{π}{6}$與曲線C交于點(diǎn)A（不同于原點(diǎn)），與直線l交于點(diǎn)B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （I）先將直線參數(shù)方程化為普通方程，再根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系得出極坐標(biāo)方程；
（II）將$θ=\frac{π}{6}$分別代入直線l和曲線C的極坐標(biāo)方程求出A，B到原點(diǎn)的距離，取差得出|AB|．

解答 解：（I）∵ρ=2cosθ．∴ρ²=2ρcosθ，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2x=0．
∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），∴$\sqrt{3}x$-y=4$\sqrt{3}$，
∴直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}$ρcosθ-ρsinθ=4$\sqrt{3}$．
（II）將$θ=\frac{π}{6}$代入曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ得ρ=$\sqrt{3}$，∴A點(diǎn)的極坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）．
將θ=$\frac{π}{6}$代入直線l的極坐標(biāo)方程得$\frac{3}{2}ρ$-$\frac{1}{2}$ρ=4$\sqrt{3}$，解得ρ=4$\sqrt{3}$．∴B點(diǎn)的極坐標(biāo)為（4$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）．
∴|AB|=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．