14.已知在△ABC中,∠B=90°,D,E分別為邊BC,AC的中點,將△CDE沿DE翻折后,使之成為四棱錐C′-ABDE(如圖).

(Ⅰ)求證:DE⊥平面BC′D;
(Ⅱ)設(shè)平面C′DE∩平面ABC′=l,求證:AB∥l;
(Ⅲ)若C′D⊥BD,AB=2,BD=3,F(xiàn)為棱BC′上一點,設(shè)$\frac{BF}{FC'}=λ$,當λ為何值時,三棱錐C′-ADF的體積是1?

分析 (I)由DE∥AB,AB⊥BC可知DE⊥BC,故翻折后DE⊥BD,DE⊥C′D,得出DE⊥平面BC′D;
(II)由DE∥AB可知AB∥平面C′DE,由線面平行的性質(zhì)即可得到AB∥l;
(III)VC′-ADF=VA-DC′F=$\frac{1}{3}{S}_{△C′DF}•AB$,當C′D⊥BD時,∠DC′F=45°,BC′=3$\sqrt{2}$,代入體積公式計算C′F,從而得出λ的值.

解答 證明:(Ⅰ)∵∠B=90°,D,E分別為BC,AC的中點
∴DE∥AB,
∴C'D⊥DE,BD⊥DE,又∵C'D∩BD=D,
∴DE⊥平面BC'D,
(Ⅱ)∵DE∥AB,DE?面C'DE,AB?面C'DE,
∴AB∥面C'DE,
又∵AB?面ABC',面ABC'∩面C'DE=l,
∴AB∥l.
解:(III)∵DE⊥平面BC′D,DE∥AB,
∴AB⊥平面BC′D,
∴VC′-ADF=VA-DC′F=$\frac{1}{3}{S}_{△C′DF}•AB$=1,
∴S△C′DF=$\frac{3}{2}$.
∵C′D⊥BD,C′D=BD=3,∴∠DC′B=45°,C′B=3$\sqrt{2}$.
∴S△C′DF=$\frac{1}{2}×C′D×C′F×sin45°$=$\frac{3}{2}$.
解得C′F=$\sqrt{2}$,∴BF=BC′-C′F=2$\sqrt{2}$.
∴λ=$\frac{BF}{FC′}$=2.

點評 本題考查了線面垂直的判定,線面平行的性質(zhì),棱錐的體積計算,屬于中檔題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

10.已知實數(shù)x,y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{3x-y-3≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$,若目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為6,則a2+b2的最小值為( 。
A.$\frac{12}{17}$B.$\frac{36}{13}$C.$\frac{6\sqrt{13}}{13}$D.$\frac{7\sqrt{13}}{13}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

11.設(shè)x,y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0,y≥0}\end{array}\right.$,函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值是12,則4a2+9b2的最小值為( 。
A.8B.18C.36D.48

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

2.已知點A(2,0),點B(0,3),點C在圓x2+y2=1上,當△ABC的面積最小時,點C的坐標為($\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$,$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

9.已知向量$\overrightarrow{a}$=(1,2),$\overrightarrow$=(-2,t),若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$,則實數(shù)t的值是-4.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

19.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=1(a>0)$的漸近線為$y=±\frac{3}{4}x$,則該雙曲線的離心率為( 。
A.$\frac{3}{4}$B.$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$C.$\frac{5}{4}$D.$\frac{5}{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

6.過直線l:x+y=2上任意點P向圓C:x2+y2=1作兩條切線,切點分別為A,B,線段AB的中點為Q,則點Q到直線l的距離的取值范圍為( 。
A.[$\frac{1}{2},\sqrt{2}$)B.[$\frac{1}{2},\sqrt{2}$]C.[$\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}$)D.[$\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}$]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

3.已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ (t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ.
(I)求曲線C的直角坐標方程與直線l的極坐標方程;
(Ⅱ)若直線θ=$\frac{π}{6}$與曲線C交于點A(不同于原點),與直線l交于點B,求|AB|的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

4.已知直線l1:mx+y-2=0,l2:6x+(2m-1)y-6=0,若l1∥l2,則實數(shù)m的值是(  )
A.-$\frac{3}{2}$B.2C.-$\frac{3}{2}$或-2D.$\frac{3}{2}$或-2

查看答案和解析>>

同步練習冊答案