Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x，x∈[-2，2]和函數(shù)g（x）=ax-1，x∈[-2，2]，若對(duì)于?x₁∈[-2，2]，總?x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

(-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：根據(jù)對(duì)于?x₁∈[-2，2]，總?x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，得到函數(shù)f（x）在[-2，2]上值域是g（x）在[-2，2]上值域的子集，下面利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）、g（x）在[-2，2]上值域，并列出不等式，解此不等式組即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答：解：∵f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3（x-1）（x+1），
當(dāng)x∈[-2，-1]，f′（x）≥0，x∈（-1，1），f′（x）＜0；x∈（1，2]，f′（x）＞0．
∴f（x）在[-2，-1]上是增函數(shù)，（-1，1）上遞減，（1，2）遞增；
且f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2．
∴f（x）的值域A=[-2，2]；
又∵g（x）=ax+1（a＞0）在[-2，2]上是增函數(shù)，
∴g（x）的值域B=[-2a-1，2a-1]；
根據(jù)題意，有A⊆B
∴

-2a-1≤-2 2a-1≥2 a＞0

⇒a≥

3

2

．
同理g（x）=ax+1（a＜0）在[-2，2]上是減函數(shù)，
可以求出a≤-

3

2

．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是：（-∞，-

3

2

]∪[-

3

2

，+∞）．
故答案為：（-∞，-

3

2

]∪[-

3

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，難點(diǎn)是題意的理解與轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．同時(shí)也考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，