Question

18．設e為自然對數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)f（x）=e^x（2-e^x）+（a+2）•|e^x-1|-a²存在三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（1，2]．

Answer 1

分析 利用換元法，可得f（m）=-m²+（a+2）m+1-a²，f（x）有3個零點，根據(jù)m=|t|=|e^x-1|，可得f（m）的一根在（0，1），另一根在[1，+∞），由此，即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：令t=e^x-1，e^x=t+1，f（t）=1-t²+（a+2）|t|-a²，
令m=|t|=|e^x-1|，則f（m）=-m²+（a+2）m+1-a²，
∵f（x）有3個零點，
∴根據(jù)m=|t|=|e^x-1|，可得f（m）的一根在（0，1），另一根在[1，+∞），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=1-{a}^{2}＜0}\\{f（1）=a+2-{a}^{2}≥0}\end{array}\right.$
∴a∈（1，2]．
故答案為（1，2]．

點評 本題考查實數(shù)a的取值范圍，考查函數(shù)的零點，考查方程根的研究，正確轉(zhuǎn)化是關鍵．