Question

20．如圖，在矩形ABCD中，|AB|=4，|AD|=2，O為AB中點，P，Q分別是AD和CD上的點，且滿足①$\frac{|AP|}{|AD|}$=$\frac{|DQ|}{|DC|}$，②直線AQ與BP的交點在橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設R為橢圓E的右頂點，M為橢圓E第一象限部分上一點，作MN垂直于y軸，垂足為N，求梯形ORMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題可知，$\frac{y_1}{2}=\frac{{{x_1}+2}}{4}，\frac{y}{x+2}=\frac{2}{{{x_1}+2}}，\frac{y}{x-2}=\frac{y_1}{-4}$，整理即可求得橢圓E的方程；
（Ⅱ）由${y_0}=\frac{1}{2}\sqrt{4-x_0^2}$，則梯形面積$S=\frac{1}{2}（2+{x_0}）{y_0}$=$\frac{1}{4}\sqrt{（4-x_0^2）{{（2+{x_0}）}^2}}$，t=2+x₀，2＜t＜4，$S=\frac{1}{4}\sqrt{4{t^3}-{t^4}}$，根據(jù)函數(shù)的單調性即可求得梯形ORMN面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）設AQ于BP交點C為（x，y），P（-2，y₁），Q（x₁，2），
由題可知，$\frac{y_1}{2}=\frac{{{x_1}+2}}{4}，\frac{y}{x+2}=\frac{2}{{{x_1}+2}}，\frac{y}{x-2}=\frac{y_1}{-4}$，（4分）
從而有$\frac{-4y}{x-2}=\frac{x+2}{y}$，整理得$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，即為橢圓方程，
橢圓E的方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；（6分）
（Ⅱ）R（2，0），設M（x₀，y₀），有${y_0}=\frac{1}{2}\sqrt{4-x_0^2}$，
從而所求梯形面積$S=\frac{1}{2}（2+{x_0}）{y_0}$=$\frac{1}{4}\sqrt{（4-x_0^2）{{（2+{x_0}）}^2}}$，（8分）
令t=2+x₀，2＜t＜4，$S=\frac{1}{4}\sqrt{4{t^3}-{t^4}}$，
令u=4t³-t⁴，u'=12t²-4t³=4t²（3-t），（10分）
當t∈（2，3）時，u=4t³-t⁴單調遞增，
當t∈（3，4）時，u=4t³-t⁴單調遞減，則當t=3時S取最大值$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，
梯形ORMN面積的最大值$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．（12分）

點評 本小題考查橢圓的標準方程及面積最值問題，考查函數(shù)單調性與橢圓的綜合應用，考查學生的邏輯思維能力和運算求解能力，屬于中檔題．