Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極限值，其圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行．
（1）求a、b的值；
（2）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）＞1-4c²恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x³+3ax²+3bx+c，∴f'（x）=3x²+6ax+3b，
∵f（x）在x=2處有極值，∴f'（2）=12+12a+3b=0，①
又∵f（x）圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行，∴f'（1）=3+6a+3b=-3，②
聯(lián)立①②解得 a=-1，b=0；
（2）在x∈[1，3]內(nèi)，f（x）=x³-3x²+c＞1-4c²恒成立，等價(jià)于f（x）_min＞1-4c²，
由f'（x）=3x²-6x=0，解得x=0或x=2，
又∵f（2）=c-4，f（1）=c-2，f（3）=c，
∴f（x）_min=c-4，
∴c-4＞1-4c²，解得c的取值范圍為．
分析：（1）由f（x）在x=2處有極值得，f'（2）=0，f（x）圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行，得f'（1）=-3，聯(lián)立方程組解出即可；
（2）在x∈[1，3]內(nèi)，f（x）=x³-3x²+c＞1-4c²恒成立，等價(jià)于f（x）_min＞1-4c²，利用導(dǎo)數(shù)易求得函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值；
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值及曲線上某點(diǎn)切線方程，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，恒成立問(wèn)題的常用解決方法是轉(zhuǎn)化函數(shù)最值處理．