Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\frac{px+q}{{{x^2}+1}}$（p，q為常數(shù)）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且$f（1）=\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）判斷并用定義證明f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）解關(guān)于x的不等式f（2x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意，$\left\{\begin{array}{l}f（0）=0\\ f（1）=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得p=1，q=0，可得函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增．
（Ⅲ）原不等式可化為f（2x-1）＜f（-x），根據(jù)函數(shù)f（x）在定義域（-1，1）上單調(diào)遞增，可得$\left\{\begin{array}{l}-1＜2x-1＜1\\-1＜x＜1\\ 2x-1＜-x\end{array}\right.$，由此求得x的范圍．

解答 解：（Ⅰ）依題意，$\left\{\begin{array}{l}f（0）=0\\ f（1）=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得p=1，q=0，所以$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}$．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，證明如下：
任取-1＜x₁＜x₂＜1，則x₁-x₂＜0，-1＜x₁x₂＜1，
從而f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}•{{（x}_{2}}^{2}+1）{-x}_{2}•{{（x}_{1}}^{2}+1）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）{{（x}_{2}}^{2}+1）}$=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）•（1{{-x}_{1}x}_{2}）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）•{{（x}_{2}}^{2}+1）}$＜0，
所以f（x₁）＜f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增．
（Ⅲ）原不等式可化為：f（2x-1）＜-f（x），即f（2x-1）＜f（-x），
由（Ⅱ）可得，函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，所以$\left\{\begin{array}{l}-1＜2x-1＜1\\-1＜x＜1\\ 2x-1＜-x\end{array}\right.$，
解得$0＜x＜\frac{1}{3}$，即原不等式解集為$（0，\frac{1}{3}）$．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于中檔題．