Question

已知增函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）且滿足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），求滿足f（x）+f（x-3）≤2的x的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件求出f（4）=2，再將f（x）+f（x-3）≤2轉(zhuǎn)化為f[x（x-3）]≤f（4），由單調(diào)性得到x＞0，x-3＞0，且x（x-3）≤4，求出交集即可．

解答： 解：由f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）可知，
2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），
所以f（x）+f（x-3）≤2等價(jià)于
f（x）+f（x-3）≤f（4），
因?yàn)閒（xy）=f（x）+f（y），
所以f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]，
所以f[x（x-3）]≤f（4）．
又因?yàn)閥=f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增．
所以x＞0，x-3＞0，且x（x-3）≤4，
解得：3＜x≤4．
故滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（3，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，注意函數(shù)的定義域，屬于易錯(cuò)題．